بهره مداوم ماهانه دریافت کنید

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

بهره مداوم ماهانه دریافت کنید

با علاقه ساده ، ما فرض می کردیم که وقتی آن را دریافت کردیم ، علاقه را جیب می کردیم. در یک حساب بانکی استاندارد ، هرگونه علاقه ای که به دست می آوریم به طور خودکار به مانده ما اضافه می شود و ما در سالهای آینده به آن علاقه بهره می بریم. این سرمایه گذاری مجدد علاقه را ترکیب می کند.

a row of gold coin stacks. From left to right, they grown from one coin, to two, to four, ending with a stack of 32 coins

فرض کنید که ما 1000 دلار را در یک حساب بانکی واریز می کنیم که 3 ٪ بهره را ارائه می دهد ، ماهانه مرکب. پول ما چگونه رشد خواهد کرد؟

سود 3 ٪ نرخ درصد سالانه (APR) است - کل سود پرداخت شده در طول سال. از آنجا که بهره ماهانه پرداخت می شود ، هر ماه ، ما [لاتکس] frac [/لاتکس] = 0. 25 ٪ در ماه را بدست می آوریم.

در ماه اول ،

  • P0= 1000 دلار
  • R = 0. 0025 (0. 25 ٪)
  • i = 1000 دلار (0. 0025) = 2. 50 دلار
  • A = 1000 دلار + 2. 50 $ = 1002. 50 دلار

در ماه اول ، ما 2. 50 دلار سود کسب خواهیم کرد و مانده حساب خود را به 1002. 50 دلار افزایش می دهیم.

در ماه دوم ،

  • P0= 1002. 50 دلار
  • I = 1002. 50 دلار (0. 0025) = 2. 51 دلار (گرد)
  • A = 1002. 50 $ + 2. 51 $ = 1005. 01 $

توجه کنید که در ماه دوم ما بیشتر از آنچه در ماه اول انجام دادیم ، علاقه بیشتری کسب کردیم. این امر به این دلیل است که ما نه تنها به 1000 دلار اصلی که واریز کردیم ، بهره مند شدیم ، بلکه به 2. 50 دلار بهره که در ماه اول به دست آوردیم نیز سود کسب کردیم. این مزیت کلیدی است که علاقه مرکب به ما می دهد.

محاسبه چند ماه دیگر موارد زیر را نشان می دهد:

 

ماه شروع تعادل سود بدست آمده تعادل پایان
1 1000. 00 2. 50 1002. 50
2 1002. 50 2. 51 1005. 01
3 1005. 01 2. 51 1007. 52
4 1007. 52 2. 52 1010. 04
5 1010. 04 2. 53 1012. 57
6 1012. 57 2. 53 1015. 10
7 1015. 10 2. 54 1017. 64
8 1017. 64 2. 54 1020. 18
9 1020. 18 2. 55 1022. 73
10 1022. 73 2. 56 1025. 29
11 1025. 29 2. 56 1027. 85
12 1027. 85 2. 57 1030. 42

ما می خواهیم روند محاسبه ترکیب را ساده کنیم ، زیرا ایجاد یک جدول مانند نمونه فوق وقت گیر است. خوشبختانه ، ریاضی در ارائه راه های میانبر خوب است. برای یافتن معادله ای برای نشان دادن این ، اگر Pmمیزان پول بعد از ماه را نشان می دهد ، سپس می توانیم معادله بازگشتی را بنویسیم:

ممکن است این موضوع را به عنوان شکل بازگشتی رشد نمایی تشخیص دهید.

رشد بازگشتی

روند اساسی رشد بازگشتی را به یاد بیاورید. از مقدار شروع ، [لاتکس] p_0 [/لاتکس] ، هر مقدار بعدی ، [لاتکس] p_m [/لاتکس] ، به نسبت خود ، [لاتکس] p _ [/لاتکس] ، با برخی از سرعت [لاتکس] r [رشد می کند./لاتکس].

فاکتورسازی [لاتکس] p _ [/لاتکس] از هر اصطلاح در سمت راست

در مثال زیر ، ما یک معادله صریح برای رشد ایجاد خواهیم کرد.

ضرب شرایط حاوی نمایندگان

در مثال زیر ، شما باید از قوانینی برای ضرب مانند پایه های حاوی نمایندگان استفاده کنید

یعنی هنگام ضرب مانند پایه ها ، نمایندگان را اضافه می کنیم.

مثال

برای رشد 1000 دلار در یک حساب بانکی که 3 ٪ بهره ، ماهانه مرکب را ارائه می دهد ، یک معادله صریح بسازید.

راه حل نشان دادن

  • P0= 1000 دلار
  • پ1= 1. 0025 p0= 1. 0025 (1000)
  • پ2= 1. 0025 p1= 1. 0025 (1. 0025 (1000)) = 1. 0025 2 (1000)
  • پ3= 1. 0025 p2= 1. 0025 (1. 0025 2 (1000)) = 1. 0025 3 (1000)
  • پ4= 1. 0025 p3= 1. 0025 (1. 0025 3 (1000)) = 1. 0025 4 (1000)

با مشاهده یک الگوی ، می توانیم نتیجه بگیریم

توجه کنید که 1000 دلار در معادله P بود0، مقدار شروعما با افزودن یک به نرخ رشد تقسیم شده توسط 12 ، 1. 0025 را پیدا کردیم ، زیرا 12 بار در سال ترکیب می شدیم.

با تعمیم نتیجه خود ، می توانستیم بنویسیم

در این فرمول:

  • m تعداد دوره های ترکیب (ماه ها در مثال ما) است
  • r نرخ بهره سالانه است
  • k تعداد ترکیبات در سال است.

این فیلم را برای پیاده روی مفهوم علاقه مرکب مشاهده کنید.

در حالی که این فرمول خوب کار می کند ، استفاده از فرمولی که شامل تعداد سالها باشد ، بیش از تعداد دوره های ترکیبی متداول است. اگر n تعداد سالها باشد ، سپس m = n k. ایجاد این تغییر فرمول استاندارد را برای علاقه مرکب به ما می دهد.

[لاتکس] m = nk [/لاتکس]

چگونه [لاتکس] m = nk [/لاتکس] را دریافت کردیم؟

به یاد بیاورید که [لاتکس] M [/لاتکس] تعداد دوره های ترکیبی را نشان می دهد که یک سرمایه گذاری در حساب باقی می ماند ، و [لاتکس] K [/لاتکس] تعداد دفعات در سال را نشان می دهد که علاقه شما پیچیده است. اگر سپرده شما ماهانه سود را به خود اختصاص می دهد ، [لاتکس] K = 12 [/لاتکس]. اگر سپرده را برای سال [لاتکس] 1 [/لاتکس] ترک کنید ، پس [لاتکس] m = 12 [/لاتکس]. اما اگر [لاتکس] k = 12 [/لاتکس] و سال قبل سپرده را برای [لاتکس] 2 [/لاتکس] سال بگذارید ، سپس [لاتکس] m = 2*12 = 24 [/لاتکس]. با نگاهی به آن روش دیگر ، [لاتکس] m = n متن* k [/لاتکس].

سابق. سرمایه گذاری 1000 دلاری سود 4 ٪ سه ماهه مرکب (4 بار در سال) برای سال [LATEX] 3 [/لاتکس] سال در حساب باقی مانده است.

ما دوره های ترکیبی [لاتکس] 4 [/لاتکس] را در سال داریم ، بنابراین [لاتکس] k = 4 [/لاتکس]

اگر پول خود را برای سال [لاتکس] 1 [/لاتکس] بگذاریم ، تعداد دوره های ترکیب [لاتکس] 1*4: m = 4 [/لاتکس] است.

اگر پول خود را برای سال [لاتکس] 3 [/لاتکس] ، [لاتکس] m = 3*4 [/لاتکس] یا [لاتکس] 12 [/لاتکس] بگذاریم.

با دانستن اینکه سرمایه گذاری ها معمولاً طی سالها از طی چندین دوره ترکیبی رشد می کنند ، فرمول را کمی تنظیم می کنیم و فقط [لاتکس] NK [/لاتکس] را می نویسیم. این کار بارگذاری فرمول در صفحه گسترده را آسان تر می کند. برای اطلاعات بیشتر در مورد نحوه استفاده از صفحات گسترده با تجزیه و تحلیل مالی ، به ماژول استدلال کمی مراجعه کنید.

بهره مرکب

  • PNتعادل در حساب بعد از n سال است.
  • P0تراز شروع حساب (همچنین به آن سپرده اولیه یا اصلی گفته می شود)
  • r نرخ بهره سالانه به شکل اعشاری است
  • k تعداد دوره های ترکیبی در یک سال است
    • اگر ترکیب سالانه (یک بار در سال) انجام شود ، k = 1.
    • اگر ترکیب سه ماهه انجام شود ، k = 4.
    • اگر ترکیب ماهانه انجام شود ، K = 12.
    • اگر ترکیب روزانه انجام شود ، K = 365.

    مهمترین چیزی که باید در مورد استفاده از این فرمول به خاطر بسپارید این است که فرض می کند که ما یک بار پول را در حساب قرار می دهیم و اجازه می دهیم در آنجا سود کسب کند.

    در مثال بعدی ، ما نشان می دهیم که چگونه می توان از فرمول بهره مرکب برای یافتن مانده در گواهی سپرده پس از 20 سال استفاده کرد.

    فراموش نکنید که درصد را به اعشاری تبدیل کنید

    معمولاً ، برای انجام محاسبات بر روی یک عدد بیان شده به صورت درصد ، باید آن را به فرم اعشاری تبدیل کنید. نرخ [لاتکس] r [/لاتکس] در فرمول های بهره باید قبل از استفاده از فرمول از درصد به شکل اعشاری تبدیل شود.

    مثال

    گواهی سپرده (CD) ابزاری پس انداز است که بسیاری از بانک ها ارائه می دهند. این معمولاً نرخ بهره بالاتری را می دهد ، اما شما نمی توانید برای مدت زمان مشخصی به سرمایه گذاری خود دسترسی پیدا کنید. فرض کنید 3000 دلار در CD با پرداخت 6 ٪ بهره ، ماهانه مرکب واریز می کنید. بعد از 20 سال چقدر در حساب خواهید داشت؟

    راه حل نشان دادن

    در این مثال ،

     

    P0= 3000 دلار سپرده اولیه
    r = 0. 06 6 ٪ نرخ سالانه
    k = 12 12 ماه در 1 سال
    n = 20 از آنجا که ما به دنبال این هستیم که پس از 20 سال چقدر خواهیم داشت

    So [latex]_>= 3000<<left(1+frac<0.06> ight)>^>= 9930. 61 $ [/لاتکس] (دور جواب خود به نزدیکترین پنی)

    یک مشکل ویدیویی از این مشکل مثال در زیر موجود است.

    بگذارید مبلغ پول به دست آمده از ترکیب را در برابر مبلغی که از سود ساده بدست می آورید مقایسه کنیم

     

    سال ها بهره ساده (15 دلار در هر ماه) 6 ٪ ماهانه = 0. 5 ٪ در هر ماه.
    5 3900 دلار 4046. 55 دلار
    10 4800 دلار 5458. 19 دلار
    15 5700 دلار 7362. 28 دلار
    20 6600 دلار 9930. 61 دلار
    25 7500 دلار 13394. 91 دلار
    30 8400 دلار 18067. 73 دلار
    35 9300 دلار 24370. 65 دلار

    Line graph. Vertical axis: Account Balance ($), in increments of 5000 from 5000 to 25000. Horizontal axis: years, in increments of five, from 0 to 25. A blue dotted line shows a gradual increase over time, from roughly $2500 at year 0 to roughly $10000 at year 35. A pink dotted line shows a more dramatic increase, from roughly $2500 at year 0 to $25000 at year 35.

    همانطور که مشاهده می کنید ، طی یک دوره طولانی ، ترکیب تفاوت زیادی در مانده حساب ایجاد می کند. شما ممکن است این را به عنوان تفاوت بین رشد خطی و رشد نمایی تشخیص دهید.

    رشد خطی در مقابل رشد نمایی

    به یاد بیاورید که رشد خطی با سرعت ثابت افزایش می یابد. نمودار رشد خطی یک خط مستقیم بین هر دو نقطه روی نمودار را توصیف می کند. نمودار با همان مقدار افزودنی در هر واحد ورودی تغییر می کند.

    به عنوان مثال ، یک حساب بانکی که 5 دلار در سال رشد می کند ، رشد خطی را تجربه می کند.

    رشد نمایی ، مقدار در حال رشد با نرخ متناسب با خود را برای هر واحد ورودی توصیف می کند. نمودار توسط چند مورد از مقدار فعلی آن در هر واحد ورودی تغییر می کند. نمودار یک منحنی در حال افزایش را توصیف می کند.

    به عنوان مثال ، حساب کاربری که 2 ٪ در سال رشد می کند ، رشد نمایی را تجربه می کند.

    امتحانش کن

    ارزیابی نمایندگان در ماشین حساب

    هنگامی که ما نیاز به محاسبه چیزی مانند [لاتکس] 5^3 [/لاتکس] داریم ، به اندازه کافی آسان است که [لاتکس] 5 cdot cdot = 125 [/لاتکس] را ضرب کنیم. اما هنگامی که ما باید چیزی مانند [لاتکس] 1. 005^[/لاتکس] را محاسبه کنیم ، بسیار خسته کننده خواهد بود که با ضرب [لاتکس] 1. 005 [/لاتکس] به خودی خود [لاتکس] 240 [/لاتکس] محاسبه کنیم! بنابراین برای آسانتر کردن کارها ، می توانیم قدرت ماشین حساب های علمی خود را مهار کنیم.

    بیشتر ماشین حساب های علمی دکمه ای برای نمایندگان دارند. به طور معمول یا برچسب مانند:

    ^، [لاتکس] y^x [/لاتکس] ، یا [لاتکس] x^y [/لاتکس].

    To evaluate [latex]1.005^[/latex] we’d type [latex]1.005[/latex] ^ [latex]240[/latex], or [latex]1.005 space> Space 240 [/لاتکس]. آن را امتحان کنید - باید چیزی در حدود 3. 3102044758 دریافت کنید.

    مثال

    شما می دانید که برای تحصیلات فرزندتان در 18 سال به 40،000 دلار نیاز دارید. اگر حساب شما 4 ٪ سه ماهه مرکب درآمد دارد ، برای رسیدن به هدف خود ، اکنون چقدر باید واریز کنید؟

    راه حل نشان دادن

    در این مثال ، ما به دنبال P هستیم0 .

     

    r = 0. 04 4%
    k = 4 4 چهارم در 1 سال
    n = 18 از آنجا که ما در 18 سال تعادل را می دانیم
    P18= 40،000 دلار مبلغی که در 18 سال داریم

    در این حالت ، ما باید معادله را تنظیم کنیم و برای P حل کنیم0 .

    بنابراین شما نیاز به واریز 19،539. 84 دلار اکنون دارید تا در 18 سال 40،000 دلار داشته باشید.

    امتحانش کن

    گرد

    مهم است که هنگام محاسبه چیزها با نمایندگان بسیار مراقب باشید. به طور کلی ، شما می خواهید در طول محاسبات به همان اندازه که می توانید اعشار را حفظ کنید. حتماً حداقل 3 رقم مهم را نگه دارید (اعداد بعد از هر صفر پیشرو). گردآوری 0. 00012345 تا 0. 000123 معمولاً پاسخ "به اندازه کافی نزدیک" را به شما می دهد ، اما نگه داشتن رقم بیشتر همیشه بهتر است.

    مثال

    برای دیدن اینکه چرا دور زدن بیش از حد بسیار مهم است ، فرض کنید شما به مدت 30 سال 1000 دلار در 5 ٪ بهره را به مدت 30 سال سرمایه گذاری کرده اید.

     

    P0= 1000 دلار سپرده اولیه
    r = 0. 05 5%
    k = 12 12 ماه در 1 سال
    n = 30 از آنجا که ما بعد از 30 سال به دنبال مبلغ هستیم

    اگر ابتدا R/K را محاسبه کنیم ، 0. 05/12 = 0. 00416666666667 را پیدا می کنیم

    در اینجا تأثیر گرد کردن این به مقادیر مختلف است:

     

    r/k گرد شده به: به P می دهد30 ­بودن: خطا
    0. 004 4208. 59 دلار 259. 15 دلار
    0. 0042 4521. 45 دلار 53. 71 دلار
    0. 00417 4473. 09 دلار 5. 35 دلار
    0. 004167 4468. 28 دلار 0. 54 دلار
    0. 0041667 4467. 80 دلار 0. 06 دلار
    بدون گرد 4467. 74 دلار

    اگر در یک بانک کار می کنید ، البته اصلاً دور نمی شوید. برای اهداف ما ، پاسخی که با دور زدن به 0. 00417 ، سه رقم مهم ، به اندازه کافی نزدیک است - 5 دلار از 4500 دلار خیلی بد نیست. مطمئناً نگه داشتن آن مکان اعشاری چهارم صدمه ای نخواهد دید.

    موارد زیر را برای نمایش این مثال مشاهده کنید.

    با استفاده از ماشین حساب خود

    In many cases, you can avoid rounding completely by how you enter things in your calculator. For example, in the example above, we needed to calculate [latex]_>= 1000<<left(1+frac<0.05> ight)>^>[/لاتکس]

    We can quickly calculate 12×30 = 360, giving [latex]_>= 1000<<left(1+frac<0.05> ight)>^>[/لاتکس].

    اکنون می توانیم از ماشین حساب استفاده کنیم.

     

    این را تایپ کنید نمایشگاه حسابگر
    0. 05 ÷ 12 =. 0. 00416666666667
    + 1 =. 1. 00416666666667
    YX 360 =. 4. 46774431400613
    × 1000 =. 4467. 74431400613

    با استفاده از ماشین حساب خود ادامه دهید

    مراحل قبلی فرض بر این بود که شما یک ماشین حساب "یک عمل در یک زمان" دارید. یک ماشین حساب پیشرفته تر اغلب به شما امکان می دهد تا کل عبارت را ارزیابی کنید. اگر ماشین حساب مانند این دارید ، احتمالاً فقط نیاز به وارد کردن دارید:

    1000 × (1 + 0. 05 ÷ 12) y x 360 =

    حل برای زمان

    توجه: این بخش فرض می کند که معادلات نمایی را با استفاده از لگاریتم ها ، چه در کلاس های قبلی و چه در فصل مدل های رشد ، پوشش داده اید.

    غالباً ما علاقه مند به جمع آوری پول یا مدت زمان لازم برای افزایش وام برای کاهش پرداخت به سطح معقول هستیم.

    مثال ها

    اگر 2000 دلار در ماهانه 6 ٪ مرکب سرمایه گذاری کنید ، چه مدت طول می کشد تا حساب دو برابر شود؟

    راه حل نشان دادن

    این یک مشکل سود مرکب است ، زیرا ما یک بار پول را واریز می کنیم و اجازه می دهیم رشد کند. در این مشکل ،

     

    P0= 2000 دلار سپرده اولیه
    r = 0. 06 6 ٪ نرخ سالانه
    k = 12 12 ماه در 1 سال

    So our general equation is [latex]_>= 2000<<left(1+frac<0.06> ight)>^>[/لاتکس]. ما همچنین می دانیم که می خواهیم مبلغ پایان ما دو برابر 2000 دلار باشد ، که 4000 دلار است ، بنابراین ما به دنبال N هستیم تا PN= 4000. برای حل این موضوع ، معادله خود را برای p تنظیم می کنیمNبرابر با 4000.

    [لاتکس] 4000 = 2000<<left(1+frac<0.06> ight)>^>[/لاتکس] هر دو طرف را تا سال 2000 تقسیم کنید

    [لاتکس] 2 =<<left(1.005 ight)>^>[/لاتکس] برای حل این نماینده ، سیاهههای مربوط به هر دو طرف را بگیرید

    [لاتکس] log سمت چپ (2 راست) = log سمت چپ (<<left(1.005 ight)>^> RIGHT) [/لاتکس] از ویژگی Exponent از سیاهههای مربوط در سمت راست استفاده کنید

    [لاتکس] log سمت چپ (2 راست) = 12n log Left (1. 005 راست) [/لاتکس] اکنون می توانیم هر دو طرف را با 12log تقسیم کنیم (1. 005)

    حدود 11. 581 سال طول خواهد کشید تا حساب دو برابر شود. توجه داشته باشید که اگر در طول محاسبات خود را ارزیابی کرده اید و در طول محاسبات خود را گرد کرده اید ، ممکن است کمی متفاوت متفاوت باشد ، اما پاسخ شما باید نزدیک باشد. به عنوان مثال اگر ورود به سیستم (2) به 0. 301 و ورود به سیستم (1. 005) به 0. 00217 را دور کردید ، پاسخ نهایی شما حدود 11. 577 سال خواهد بود.

    راهنمایی های اضافی برای این مثال در زیر دریافت کنید:

    مجوزها و ویژگی ها محتوای دارای مجوز CC ، اصلی
    • شناسه سوال 6692. نویسنده: لیپمن ، دیوید. مجوز: CC توسط: انتساب. شرایط مجوز: مجوز جامعه Imathas CC-by + GPL
    • تجدید نظر و سازگاری. ارائه شده توسط: Lumen Leaing. مجوز: CC توسط: انتساب
    محتوای دارای مجوز CC ، که قبلاً به اشتراک گذاشته شده است
    • ریاضی در جامعه. تألیف شده توسط: فروشگاه کتاب درسی ، پروژه ریاضی انتقال و کتابخانه دوره باز. واقع در: http://www. opentextbookstore. com/mathinsocience/. مجوز: CC BY-SA: Attribution-Sharealike
    • دستاورد-بارس-تجارت-نماد-18134. تألیف شده توسط: PublicDomainPictures. واقع در: https://pixabay. com/en/achievement-bar-business-chart-18134/. مجوز: CC0: هیچ حقوقی محفوظ است
    • بهره مرکب. نویسنده توسط: کانال OCLPHASE2. واقع در: https://youtu. be/xuqtfmp9g. مجوز: CC توسط: انتساب
    • مثال CD علاقه مرکب. نویسنده توسط: کانال OCLPHASE2. واقع در: https://youtu. be/8nazxajhpjw. مجوز: CC توسط: انتساب
    • علاقه مرکب - اهمیت گرد. نویسنده توسط: کانال OCLPHASE2. واقع در: https://youtu. be/vhhytamn6mo. مجوز: CC توسط: انتساب
    • شناسه سوال 6693. نویسنده: لیپمن ، دیوید. مجوز: CC توسط: انتساب. شرایط مجوز: مجوز جامعه Imathas CC-by + GPL
کسب درآمد از بیت کوین...
ما را در سایت کسب درآمد از بیت کوین دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : ماهور الوند بازدید : <-PostHit-> تاريخ : دوشنبه 23 مرداد 1402 ساعت: 14:19

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه