رگرسیون و همبستگی

روش آماری مورد استفاده برای اندازه گیری قدرت ارتباط خطی بین دو متغیر پیوسته، یعنی نزدیکی نقاطی که در امتداد خط رگرسیون قرار دارند (به زیر مراجعه کنید). ضریب همبستگی (r) بی ن-1 و +1 (شامل) قرار دارد.

• اگر r = 1 ی ا-1 باشد، رابطه خطی کامل مثبت (1) یا منفی (-1) وجود دارد
• اگر r = 0 باشد، هیچ رابطه خطی بین دو متغیر وجود ندارد

هنگامی که با استفاده از داده های مشاهده شده محاسبه می شود، معمولاً به عنوان ضریب همبستگی پیرسون شناخته می شود (پس از کارل پیرسون که اولین بار آن را تعریف کرد). هنگام استفاده از رتبه های داده ها، به جای داده های مشاهده شده، به عنوان همبستگی رتبه اسپیرمن شناخته می شود.

0.8 ≤ | r | ≤ 1.0 =>رابطه بسیار قوی 0. 6 ≤ |r |<0.8 =>رابطه قوی 0. 4 ≤ |r |<0.6 =>رابطه متوسط 0. 2 ≤ |r |<0.4 =>رابطه ضعیف 0. 0 ≤ |r |<0.2 =>رابطه بسیار ضعیف

... کجا |r |(بخوانید "مدول r") مقدار مطلق (غیر منفی) r است.

می توان آزمایش کرد که آیا r از نظر آماری تفاوت معنی داری با صفر دارد (مقدار عدم همبستگی). توجه داشته باشید که هر چه نمونه بزرگتر باشد مقدار r کوچکتر می شود که معنی دار می شود. برای مثال، با n=10 مشاهدات زوجی، r اگر بزرگتر از 0. 63 باشد، معنادار است. با n=100 جفت، r اگر بزرگتر از 0. 20 باشد معنادار است.

مجذور ضریب همبستگی (r 2 ) نشان می دهد که چه مقدار از تغییرات متغیر y توسط متغیر x به حساب می آید (یا "توضیح داده می شود"). به عنوان مثال، اگر r = 0. 7، آنگاه r 2 = 0. 49، که نشان می دهد 49٪ از تغییرات در y با x توضیح داده می شود.

نکات مهم:

• همبستگی فقط ارتباط خطی را اندازه گیری می کند. یک رابطه U شکل ممکن است همبستگی صفر داشته باشد.
• در مورد متغیرهای x و y متقارن است - همبستگی (x و y) با همبستگی (y و x) یکسان است.
• همبستگی معنادار بین دو متغیر لزوماً به معنای ارتباط علی و معلولی آنها نیست.
• برای نمونه های بزرگ می توان روابط بسیار ضعیفی را تشخیص داد.

رگرسیون خطی ساده

از رگرسیون خطی ساده برای توصیف رابطه بین دو متغیر استفاده می شود که در آن یکی از متغیرها (متغیر وابسته که با y نشان داده می شود) تغییر می کند و دیگری (مستقل، متغیر توضیحی یا پیش بینی کننده که با x نشان داده می شود) تغییر می کند.

این تکنیک با یک خط مستقیم با داده ها مطابقت دارد، جایی که این به اصطلاح "خط رگرسیون" معادله ای به شکل زیر دارد:

a = ثابت (y قطع) b = گرادیان (ضریب رگرسیون)

این مدل با انتخاب A و B به گونه ای تعبیه شده است که مجموع مربع خطاهای پیش بینی (تفاوت بین مقادیر Y مشاهده شده و مقادیر پیش بینی شده توسط معادله رگرسیون) به حداقل می رسد. این به عنوان روش حداقل مربعات شناخته می شود.

این روش برآورد B را همراه با خطای استاندارد و فاصله اطمینان ایجاد می کند. از این طریق ، می توان اهمیت آماری b را آزمایش کرد. در این حالت ، فرضیه تهی این است که b = 0 ، یعنی اینکه تغییر در y توسط x پیش بینی نمی شود.

ضریب رگرسیون B به ما می گوید که برای هر 1 واحد تغییر در x (متغیر توضیحی) y (متغیر پاسخ) به طور متوسط واحد B تغییر می کند.

توجه داشته باشید که مقدار ثابت A مقدار پیش بینی y را در هنگام x = 0 می دهد.

نکات مهم:

• فرض بر این است که این رابطه خطی است ، به این معنی که با افزایش x با مقدار واحد ، Y صرف نظر از مقدار اولیه x با یک مقدار ثابت افزایش می یابد.
• فرض بر این است که متغیر خطا با x (همواسکوپیستری) متفاوت نیست.
• بر خلاف همبستگی ، رابطه متقارن نیست ، بنابراین اگر کسی متغیرهای وابسته و مستقل را رد و بدل کند ، معادله متفاوتی دریافت می کند ، مگر اینکه تمام مشاهدات در خط مستقیم y = x قرار بگیرند.
• آزمون اهمیت برای B همان مقدار p را به عنوان آزمون اهمیت برای ضریب همبستگی r نشان می دهد.
• ضریب رگرسیون آماری معنی دار به معنای رابطه علّی بین Y و X نیست.

ارجاع

• Campbell MJ. آمار در مربع دو. چاپ دوم. Blackwell: BMJ Books ، 2006

© MJ Campbell 2016 ، S Shantikumar 2016